Среди плоскостей данного множества есть такие, которые пересекают фигуру Ф. Первая из этих плоскостей имеет координату а, а последняя – b. Таким образом, фигура Ф заключена между плоскостями 
(a) и (b), другими словами, задана на отрезке [a,b]. Конечно, далеко не всегда фигура задана на отрезке. Она может быть задана на интервале, на дискретном множестве и т. п. Но в курсе геометрии средней школы можно ограничиться рассмотрением фигур, заданных на отрезке.
Упражнения:
1. Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна 3. В качестве плоскости выбрана плоскость ABCD, а в качестве Ох – прямая АА1. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).
2. Дана пирамида ABCD. В качестве плоскости выбрана плоскость BCD, а в качестве оси Ох – высота АМ пирамиды. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b), если АМ=6.
3. Дан шар радиуса 8 см с центром в точке К. В качестве плоскости выбрана плоскость на расстоянии 10 см от центра шара. Задайте ось Ох, найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).
4. Постройте функцию S(x) для шара радиуса 8 см, если плоскость (х) проходит через центр шара.
5. Постройте функцию S(x) для конуса с высотой Н и радиусом основания R, если в качестве плоскости выбрана плоскость, параллельная основанию и проходящая через вершину конуса.
После решения этих упражнений формулируется следующее определение: объемом фигуры Ф называется интеграл от a до b функции S(x): 
.
Упражнения:
6. Запишите интегральную формулу для вычисления объемов фигур, заданных в упр. 4, 5.
7. Запишите формулу для вычисления объема цилиндра высоты Н и радиуса R, если в качестве плоскости выбрана плоскость основания цилиндра.
8. Запишите формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями m, p, n (плоскость задайте сами).
Урок 4
Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.
Цель урока: закрепить изученное на предыдущем уроке и провести доказательство обоснованности данного определения объема.
Упражнения
:
1. Выведите формулу для вычисления объема призмы с высотой Н и площадью основания S.
Решение. Здесь a=0, b=H, S(x)=0. Следовательно, 
.
2. Выведите формулу для вычисления объема пирамиды с высотой Н и площадью основания Q (аналогично тому, как это делалось для конуса).
Решение. Выберем в качестве плоскости плоскость, параллельную основанию и проходящую через вершину. Тогда а=0, b=H, 
. Поэтому S(x)=
. Следовательно, 
.