Математическое суждение принято называть предложением.
Например
: “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.
Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например
:
Элементарные предложения:
дан DАВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВД
ДС.
Составные предложения:
1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС – истинное.
2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС – ложное.А
3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,
то АД
ДС – истинное.
Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.
Например:
1. Если число целое и положительное, то оно натуральное;
2. Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.
Аксиома
– предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.
Постулат
– это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.
Например,
понятие а||b определяется двумя постулатами:
1. (a
)
(b);
2. (a=b)
(a
b=0).
Теорема
– математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.
Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:
А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.
Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.
Например,
“если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.
Условие: сумма цифр числа n делится на 3
Заключение: само число делится на 3.
Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.
Используя логическую символику, теорема представляется так: