Найдите относительные частоты событий:
А = {старшеклассник родился в майское воскресенье};
В ={старшеклассник родился в зимний четверг};
С = {старшеклассник родился в понедельник};
D = {старшеклассник родился весной}.
Занятие №7. Геометрическая вероятность.
Геометрическая вероятность – это своеобразный аналог формулы классического определения вероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определения вероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собой бесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найти вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом – конечное и бесконечное множества исходов – и заключается основное различие между классическим определением вероятности события и геометрическим.
Рассмотрение геометрической вероятности развивает у учащихся пространство воображения и способствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию на геометрический язык.
Геометрические вероятности можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.
Задачи:
1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
2. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
4. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10 м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется?
Занятие №8. Теорема сложения вероятностей.
Из четырех теорем о сложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение), для событий, образующих полную группу и для противоположных событий) практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтому их следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположных событиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одному из учащихся.
Теорема 1. Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – общее число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – общее число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,
Р(А+В)=
.
Приняв во внимание, что 
и 
, окончательно получим
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Теорема 3. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна 1:
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то