Кроме этого слоя, есть и эмпирические знания. К ним можно отнести конкретные методические рекомендации по применению теоретических положений к изучению конкретных объектов. Методику обучения математике часто обвиняют в том, что она не объясняет, а дает рецепты, советы, образцы. "Методическим" теориям, в отличие от любых других, присуще пристальное внимание к процессу применения тех теоретических положений, которые составляют ее содержание. Это могут быть и образцы, и алгоритмы, и просто некоторые ориентиры применения теоретических положений. Такие методические рекомендации вырабатываются конкретными людьми на основе конкретного опыта обучения, полученного в ограниченное время, на ограниченном материале. Они могут быть различными, даже если выведены из сходных положений. Если теория недостаточно разработана, то итогом ее функционирования становятся методические рекомендации, которые являются результатом обобщения практики школьного обучения. Их нельзя отнести даже к разряду эмпирических знаний. Это практические рецепты. Таких "научных" исследований в методической науке немало. Следует заметить, что сомнения в научном статусе методики обучения математике не беспочвенны. Говорить о ее теоретизации еще рано. В настоящее время система образования претерпевает значительные изменения. Очевидно, они должны повлечь за собой и соответствующее развитие теорий методики обучения. Но вряд ли оправдано требовать от методики и как науки, и как учебного предмета немедленной и адекватной реакции на изменения внешней среды. Как известно, научные факты находят отражение в учебниках и внедряются в практику через 40—50 лет после их возникновения. Отсутствие или расплывчатость методологии приводит к тому, что методические исследования либо подменяют труды психологов, либо выдают "рецепты" (обобщение практического опыта обучения).
Существует и другая проблема методической науки. Случается, что методология научного знания разработана, но для появления методической концепции требуется время, необходимое и для теоретических обобщений, и для анализа практики обучения, и для экспериментальной проверки теоретических положений. Например, в психолого-педагогических исследованиях речь идет о личностно ориентированных технологиях обучения, но на практике ни одна из них не используется (а может быть, и не может быть использована в условиях классно-урочной системы обучения в школе).
Рассмотрим становление методической теории на примере функционирования и развития теории формирования математических понятий. Термины "функционирование" и "развитие" науки ввел В.М.Розин. Одной из побуждающих сил ее функционирования является анализ противоречий, проблем и различных затруднений, возникающих в научном мышлении и деятельности. Развитие науки побуждается, с одной стороны, логикой научного познания (его требованиями, идеалами, ценностями), с другой — накоплением большого числа противоречий, рассогласований в научных представлениях. В число проблем входят и те, которые возникают в практике: описание новых объектов, включение в теорию знаний, полученных о них, построение концепций новой объектной области и др. Математик и логик А.В.Гладкий справедливо заметил, что ошибки в процессе познания неизбежны и моменты их обнаружения и исправления являются в этом процессе ключевыми. "Не будет слишком большим преувеличением сказать, что все наше знание возникает, в конечном счете, из ошибок и их исправления" [2, с. 160]. Одним из первых, кто теоретически обосновал период перехода от нормального функционирования науки в рамках устоявшейся парадигмы к новому знанию, к новой парадигме, был Томас Кун. Смену парадигмы он назвал научной революцией. Для ученого она означает переход из одного мира в другой, полностью отличный от первого. Он связан со значительными затруднениями по ряду причин. Прежде всего, с точки зрения всех существующих стандартов новая парадигма всегда будет казаться хуже старой. Она не так хорошо соответствует уже накопленным наукой фактам, решает меньше проблем, ее технический аппарат менее разработан, понятия менее точны и т.п. Для того, чтобы совершенствовать ее, раскрыть ее потенциальные возможности, нужны ученые, способные принять новую парадигму и начать ее развивать.
Модель развития науки Т.Куна выглядит следующим образом: существование общепризнанной парадигмы -> рост числа аномалий, приводящий к кризису -> научная революция, означающая смену парадигм.
Становление методической науки проходит по тем же законам, которые определяют развитие любого научного знания. Рассмотрим в качестве примера развитие теории формирования математических понятий в средней школе. Многие десятилетия она функционирует в рамках объектной парадигмы (термин введен автором статьи). Перечислим основные ее положения, заимствованные в формальной логике, в которых выражены знания о структуре и способе образования понятий: