• термин "понятие" применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания;
• каждое понятие объединяет в себе класс объектов — объем этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам данного класса и только им, — содержание понятия;
• содержание понятия раскрывается его определением.
Объектная трактовка не раз подвергалась критике со стороны психологов (Л.С.Выготский, М.А.Холодная) как несостоятельная с точки зрения представлений о психической природе научного понятия, механизмах его образования и функционирования. Выбор такой модели в качестве методологической основы построения теории формирования математических понятий в школе ведет к ряду противоречий и проблем в обучении математике. Так, в соответствии с объектной парадигмой введение нового понятия начинается с анализа всех свойств объектов и вычленения существенных признаков, которые затем "обобщаются" в понятии. С точки зрения теории познания этот способ характерен, прежде всего, для естествознания и обществознания, где понятия образуются на основе наблюдения реальных объектов. Математика с самого начала имеет дело не с реальными, а с идеализированными объектами. Математические понятия образуются на основе их изучения.
Исходя из объектной трактовки, методика формирования математических понятий в школе направлена, прежде всего, на обучение распознаванию объектов на основе определения. При этом недостаточное внимание уделяется изучению тех компонентов понятия, которые необходимы при его применении в практической деятельности, а именно, при решении задач, доказательстве теорем. Анализ деятельности ученика при изучении математики показывает, что для достижения результата он должен владеть целым комплексом суждений о каждом математическом объекте и знать логические связи между ними. Так, решая задачу по геометрии, он рассуждает: "В данном треугольнике два угла равны. Следовательно, он является равнобедренным. Но тогда медиана треугольника, проведенная к его основанию, является его высотой". И так далее. Очевидно, на первый план здесь вы ступает не распознавание геометрической фигуры по определению, а владение этим понятием как системой взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений, которые называются свойствами и признаками понятия "равнобедренный треугольник". Формирование подобных систем суждений возможно лишь в результате доказательства теорем, решения задач. Но они рассматриваются вне связи с формированием понятия, поскольку к моменту их изучения оно считается сформированным. Нет сомнений в том, что в процессе изучения соответствующей теории формирование понятия продолжается, оно включается в связи с другими понятиями. Тем не менее, в учебных пособиях по общей методике преподавания математики процесс формирования понятия практически подменяется работой над его определением. В одном из наиболее известных пособий можно прочесть: "Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение". В основу методики изучения определений положена следующая точка зрения, заимствованная в формальной логике: определение рассматривается как логическая операция, как некий процесс выделения существенных черт объектов, в результате которого и "рождается" определение. В результате такого определения в школьной практике нашла широкое распространение ложная, на наш взгляд, тенденция — обучение "открытию" определений. Например, авторы одного известного пособия для учителей рекомендуют построить работу над определением угла, вписанного в окружность, таким образом: учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены окружность и 4 угла, среди них только один является вписанным. "Задается вопрос: Подумайте, какой из углов мы будем называть вписанным в окружность? После обсуждения различных ответов составляется определение". Внешне деятельность учащихся по "открытию" определений выглядит вполне современно, побуждает детей к анализу ситуации. В действительности такая работа сводится к угадыванию нужного ответа, она утомляет школьников, а главное, создает неверные представления о математике в целом. По поводу "открытия" определений Г.Фройденталь, автор известного пособия для учителей, писал: "Как можно определить нечто, коль скоро не знают того, что определяют?" [3, с. 48].
На самом деле математические определения играют двоякую роль: во-первых, они закрепляют термин за изучаемым классом объектов, во-вторых, служат начальным звеном в цепи дедуктивных рассуждений, в результате которых возникают научные теории, математические понятия. Строгие определения появляются лишь после того, как теория уже настолько развита, что возникает потребность в ее логическом упорядочении. Выбор определения — забота ученого, который выстраивает соответствующую теорию.