Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?
Далее учащиеся должны ответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.
Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9·9 = 92 двузначных номеров.
Итак, существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 92·9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.
Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 83 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.
С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.
Кортежи. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 – совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.
Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.
В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.
Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.
Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?
При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.
Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø => 