Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка.
Задачи:
1. Перечислить знакомые виды четырехугольников.
2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.
3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться? (перебор с ограничением).
4. (Устно) Важен или нет порядок в следующих выборках (комбинациях):
а) капитан волейбольной команды и его заместитель;
б) три ноты в аккорде;
в) «шесть человек останутся убирать класс!»;
г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.
5. Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух – нет.
6. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?
7. В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся написать работу (сообщение, реферат, доклад) на тему «Из истории комбинаторики».
Занятие №2. Подсчет вариантов с помощью графов. Таблица вариантов
.
Эффективным приемом, организующим подсчет, является составление учащимися таблиц, построение графов. Графы, таблицы позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Поэтому использование этих методов в обучении комбинаторике в школе оправдывается не только познавательными, но и педагогическими соображениями.
Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.
Пример 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?
Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.
Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т.д.), а с помощью ребер – определенные связи между этими элементами.
Рассмотрим два вида графов:
1. Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).
С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.
На первом месте в трехзначном числе может стоять одна из цифр 1, 2 или 3; на втором и третьем местах – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр.
Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.
2. Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.
Пример 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?
Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.
Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.
Еще одним методом подсчета числа комбинаций является таблица вариантов. Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов.
Пример 3. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.