Такой подход к решению задач на построение сечений дает надежное общее средство решения этих задач и позволяет развивать изобретательность учащихся при отыскании частных приемов.
Важный момент обучения решению задач на построение сечений при рассматриваемой методике составляет выделение в условии задач элементов, задающих секущую плоскость. Если условием задачи секущая плоскость задана точкой и прямой, или пересекающимися прямыми, или параллельными прямыми, то, выбирая на них три точки, сводим решение задачи к построению сечения плоскостью, заданной тремя точками.
При построении сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону верхнего основания и образующей с основанием данный двугранный угол, прежде всего определяется пара пересекающихся прямых, задающих эту плоскость.
Секущая плоскость определяется парой пересекающихся прямых АВ и ММ (рис. 12) и при построении сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через данную точку М1 основания пирамиды, параллельно одной из больших диагоналей основания и
 |
Рис. 12
Выделение секущей плоскости — один из важных этапов решения задач на построение сечений.
При решении задач на построение сечений в доходчивой форме удается познакомить учащихся с понятиями полного и метрически определенного изображений, с решением позиционных и метрических задач.
Изображение многогранников вводится как метрически определенное в соответствии с вышеизложенной методикой обучения построению изображений. К понятию полного изображения можно подвести учащихся, если добиться от них понимания, что изображение, построенное по наперед заданному оригиналу, есть в то же время изображение более широкого класса фигур. Учащиеся должны понимать, что изображение, например, правильного тетраэдра является вместе с тем и изображением всех треугольных пирамид. Изображение правильной четырехугольной призмы, высота которой в два раза больше стороны основания, является в то же время и изображением четырехугольных призм, в основании которых, лежит не только квадрат и высота которых не только в два раза больше стороны основания, изображением не только прямых призм, но и наклонных.
Навык в построении сечений целесообразнее вырабатывать на полных изображениях, не связывая себя без необходимости с оригиналами наперед заданной формы. Это тем более полезно, что на полных изображениях раскрываются и некоторые общие свойства многогранников.
Полезно, например, не только построить сечение правильной треугольной призмы (рис 13) секущей плоскостью А102С1, где 02— середина оси призмы, но и доказать, что плоскость пересечет верхнее и нижнее основания любой из правильных треугольных призм
Рис. 13
Для построения сечения достаточно найти точку (X) пересечения ребра ВВ1, с прямой О102, по которой пересекаются вспомогательная плоскость BВ1DO1 с секущей плоскостью. Отрезок XB1=30102, так как D1B1 =3D1O1, и, следовательно, D1O2 пересечет верхнее основание.
Широкие возможности для проведения такой работы представляет построение изображений к задачам с буквенными данными.
Приведем в качестве примера решение задачи на построение сечения призмы плоскостью.
Задача. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, лежащими на боковых ребрах призмы.
Пусть дана призма ABCDEA'B'C'D'E' и три точки М, N, Р, лежащие соответственно на ребрах АА', ЕЕ', DD', (рис).