Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А1 А2 … Аn и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.
При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S∆ - площадь боковой грани. Тогда
Sбок=n∙ S∆, Sбок=n∙
ad, Sбок=(n∙a)∙d, Sбок= Pd, где P – периметр основания пирамиды.
Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.
При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике [4], это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника – равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.
Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.
Весь теоретический материал темы относится либо к прямым призмам, либо к правильным призмам и правильным пирамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др. [4], [24]