После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии. Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются. Учащиеся часто вообще не воспринимают смысла прилагательного «выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо четырехугольник рисуют фигуру, изображенную на рисунке l.4,а (а иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б), а не фигуру, изображенную на рис l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток общей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклыми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии представить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника (рис.
1.4,б), параллелограмма или, в лучшем случае, от трапеции. В некоторых случаях игнорирование условия о выпуклости многоугольника или многогранника оказывается даже совершенно законным - какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) .180° Условие этой теоремы полностью сохраняет силу и для невыпуклых (простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четырехугольника (рис. 1.4,в) равна 360°. Правда, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпуклых многоугольников.
Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова [3]. Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках [4] и [22]. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике [28]. В учебнике [3] за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.
Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной (рис 1.5). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки А, В, всегда можно выбрать самую простую линию - прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются выпуклыми.
Фигура F называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис.1.6; на рис. 1.7 изображены некоторые невыпуклые фигуры.
Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.
Выпуклые тела в пространстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пересечения конечного числа полупространств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.