В школьных учебниках после изучения «бесконечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геометрических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в первую очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель многогранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» - посмотреть на сечение. В данной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использовать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внимание и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.
Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изучение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики - это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго определяются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,… . Более детальная классификация - по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная»:
И далее:
Школьная классификация пирамид менее разветвленная:
Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.
Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).
Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим.